数列求和问题
更新日期：2024.04.26
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式有不少种推导方法，这里提供4种：
（1）数学归纳法
当n=1时，S1=1*(1+1)(2+1)/6=1，显然成立
设n=k时(k为正整数)，Sk=k(k+1)(2k+1)/6成立
S(k+1)=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
故对于n属于正整数，
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
得证
（2）由高阶等差数列性质：若数列{An}是p阶等差数列，则其前n项和Sn是个关于n的p+1次多项式
然后，显然An=n^2是一个二阶等差数列，其前n项和Sn是个关于n的3次多项式
那么设Sn=A*n^3+B*n^2+C*n+D
然后找4组数据往里带入，将Sn的解析表达式解出来即可
（3）算两次法（Fubini原理）
∑(i=1——n)(i-1)i=∑(i=1——n)i^2-∑(i=1——n)i
∑(i=1——n)(i-1)i=∑(i=1——n) [(i-1)i(i+1)-(i-2)(i-1)i]/3=(n-1)n(n+1)/3
Sn=∑(i=1——n)i^2=∑(i=1——n)(i-1)i+∑(i=1——n)i
=(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6
得证
（4）阶差法
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
……
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
1^3=0^3+3*0^2+3*0+1
(n+1)^3=3*∑(i=1——n)i^2+3*∑(i=1——n)i+n+1
∑(i=1——n)i^2=n(n+1)(2n+1)/6
Sn = 1^2+2^2+...+n^2 -----------式子1
2Sn=2*（式子1)-------- 式子2
Sn=2Sn-Sn=式子2-式子1
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自己算一次就能记住了
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
15693214931 :数列求和题型及解题方法
都牧实1143 :答：数列是高中数学中最重要的知识点，也是高考必考的考点。数列求和的方法有七种：错位相减、裂项相消、公式法、倒序相加法、分组法、数学归纳法、通项归纳法、并项求和法。其中错位相减和裂项相消最为常见、难度也比较大。1....
15693214931 :数列求和的方法有哪些?
都牧实1143 :答：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。错位加减法 ：目的：把分母变简单或者消掉 口诀：错开相同位，加减相同倍步骤诠释 1、简分母 在分母上...
15693214931 :收敛数列求和过程有哪些注意事项?
都牧实1143 :答：无穷级数与有限数列的区别：在处理收敛数列求和问题时，我们需要注意区分无穷级数与有限数列。无穷级数是指项数趋于无穷的数列，而有限数列是指项数有限的数列。这两者在求和过程中的方法和技巧有所不同。利用已知结果：在求解...
15693214931 :等比数列怎么求和?
都牧实1143 :答：2、等比数列的求和公示如下：其中a1为首项，q为等比数列公比，Sn为等比数列前n项和。还是以数列：2、4、8、16、···为例，a1=2，公比q=2，假如是求前四项的和，即：Sn=2×（1-2^4）÷（1-2）=30，与2+4...
15693214931 :求数列求和的几种方法!最好有具体例子
都牧实1143 :答：一般数列的求和方法 (1)直接求和法,如等差数列和等比数列均可直接求和．(2)部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列,而后可求出数列的前n项的和．(3)并项求和法将数列某些项先合并,合并后可形成直接求和的数列．...
15693214931 :等差数列求和项数怎么求
都牧实1143 :答：等差数列求和项数方法如下：等差数列的求和一般公式和=(首项+末项)x项数÷2公差就是相邻两个项之差，项数就是数列中全部项有多少个，项数=(末项-首项)÷公差+1在等差数列计算中，常常用到两种方法。①配对法；②倒序...
15693214931 :数列求和的方法有哪些?
都牧实1143 :答：5. 数学归纳法：利用数学归纳法可以证明某些数列的求和公式的正确性。这种方法适用于特定数列求和问题，通过归纳出数列的规律性并进行证明，从而得到求和公式。请根据具体的数列情况选择合适的求和方法，以获得准确的结果。
15693214931 :列项求和
都牧实1143 :答：列项求和如下：1、等差数列求和：找到该数列的首项a1和公差d（公差是数列中相邻两项构成的等差差值）。计算项数n。用公式Sn=n(a1+an)/2计算求和结果。把结果赋值给S，计算完成。公式：S=n(a1+an)/2。2、等比数列...
15693214931 :数列求和问题求解
都牧实1143 :答：解：(1)n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2an -a1-[2a(n-1)-a1]=2an-2a(n-1)an=2a(n-1)an/a(n-1)=2，为定值，数列是以2为公比的等比数列。a1、a2+1、a3成等差数列，则 2(a2+1)=a1+a3 2(2a1+1)=...
15693214931 :数列的通项与求和的方法
都牧实1143 :答：(2)问中把3拆解为4－1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.(1)由An= (an－1),可知An+1= (an+1－1)...
这个公式有不少种推导方法，这里提供4种：
（1）数学归纳法
当n=1时，S1=1*(1+1)(2+1)/6=1，显然成立
设n=k时(k为正整数)，Sk=k(k+1)(2k+1)/6成立
S(k+1)=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
故对于n属于正整数，
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
得证
（2）由高阶等差数列性质：若数列{An}是p阶等差数列，则其前n项和Sn是个关于n的p+1次多项式
然后，显然An=n^2是一个二阶等差数列，其前n项和Sn是个关于n的3次多项式
那么设Sn=A*n^3+B*n^2+C*n+D
然后找4组数据往里带入，将Sn的解析表达式解出来即可
（3）算两次法（Fubini原理）
∑(i=1——n)(i-1)i=∑(i=1——n)i^2-∑(i=1——n)i
∑(i=1——n)(i-1)i=∑(i=1——n) [(i-1)i(i+1)-(i-2)(i-1)i]/3=(n-1)n(n+1)/3
Sn=∑(i=1——n)i^2=∑(i=1——n)(i-1)i+∑(i=1——n)i
=(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6
得证
（4）阶差法
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
n^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
……
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
1^3=0^3+3*0^2+3*0+1
(n+1)^3=3*∑(i=1——n)i^2+3*∑(i=1——n)i+n+1
∑(i=1——n)i^2=n(n+1)(2n+1)/6
Sn = 1^2+2^2+...+n^2 -----------式子1
2Sn=2*（式子1)-------- 式子2
Sn=2Sn-Sn=式子2-式子1
告诉你答案你也记不住
自己算一次就能记住了
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
都牧实1143 :答：数列是高中数学中最重要的知识点，也是高考必考的考点。数列求和的方法有七种：错位相减、裂项相消、公式法、倒序相加法、分组法、数学归纳法、通项归纳法、并项求和法。其中错位相减和裂项相消最为常见、难度也比较大。1....
都牧实1143 :答：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。错位加减法 ：目的：把分母变简单或者消掉 口诀：错开相同位，加减相同倍步骤诠释 1、简分母 在分母上...
都牧实1143 :答：无穷级数与有限数列的区别：在处理收敛数列求和问题时，我们需要注意区分无穷级数与有限数列。无穷级数是指项数趋于无穷的数列，而有限数列是指项数有限的数列。这两者在求和过程中的方法和技巧有所不同。利用已知结果：在求解...
都牧实1143 :答：2、等比数列的求和公示如下：其中a1为首项，q为等比数列公比，Sn为等比数列前n项和。还是以数列：2、4、8、16、···为例，a1=2，公比q=2，假如是求前四项的和，即：Sn=2×（1-2^4）÷（1-2）=30，与2+4...
都牧实1143 :答：一般数列的求和方法 (1)直接求和法,如等差数列和等比数列均可直接求和．(2)部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列,而后可求出数列的前n项的和．(3)并项求和法将数列某些项先合并,合并后可形成直接求和的数列．...
都牧实1143 :答：等差数列求和项数方法如下：等差数列的求和一般公式和=(首项+末项)x项数÷2公差就是相邻两个项之差，项数就是数列中全部项有多少个，项数=(末项-首项)÷公差+1在等差数列计算中，常常用到两种方法。①配对法；②倒序...
都牧实1143 :答：5. 数学归纳法：利用数学归纳法可以证明某些数列的求和公式的正确性。这种方法适用于特定数列求和问题，通过归纳出数列的规律性并进行证明，从而得到求和公式。请根据具体的数列情况选择合适的求和方法，以获得准确的结果。
都牧实1143 :答：列项求和如下：1、等差数列求和：找到该数列的首项a1和公差d（公差是数列中相邻两项构成的等差差值）。计算项数n。用公式Sn=n(a1+an)/2计算求和结果。把结果赋值给S，计算完成。公式：S=n(a1+an)/2。2、等比数列...
都牧实1143 :答：解：(1)n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2an -a1-[2a(n-1)-a1]=2an-2a(n-1)an=2a(n-1)an/a(n-1)=2，为定值，数列是以2为公比的等比数列。a1、a2+1、a3成等差数列，则 2(a2+1)=a1+a3 2(2a1+1)=...
都牧实1143 :答：(2)问中把3拆解为4－1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.(1)由An= (an－1),可知An+1= (an+1－1)...
