一道2008年全国数学竞赛题
更新日期：2024.05.20
设ABC满足∠CAB=2∠ABC，我们做∠CAB的平分线，交BC于D。设AB=c，BC=a，AC=b。因为，∠CAD=∠CBA，所以△CAD∽△CBA。因此我们有CA/CD=BC/AC (1)；
由角平分线定理：AB/AC=BD/CD，(AC+AB)/AC=(BD+CD)/CD=BC/CD，所以CD=AC*BC/(AC+AB)=ab/(b+c)代入(1)有b2/a=ab/(b+c)，也就是a2=b(b+c)，所以bc=(a-b)(a+b)。
由已知条件，a、b、c是三个连续自然数，所以只能有(a-b)=1或2。
①如果(a-b)=1，代入得bc=2b+1，而b和2b+1互质，所以只能有b=1，由此得到a=2，c=3不能构成一个三角形。
②如果(a-b)=2，代入得bc=4(b+1)，因为b和b+1互质，所以b是4的因子，只能有b=2或b=4。
b=2代入得c=6不符合要求。而b=4时，可得c=5，a=6，正好满足要求。
所以满足要求的只有由4、5、6构成的一个三角形
不知道阁下是初中的还是高中的？
显然A<120°
sinA=sin2B
sinA=2sinB*cosB
sinA/sinB=2cosB
又由正弦定理可以知道：
sinA/sinB=a/b
所以a/b=2cosB
由余弦定理可以知道：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
用cosB联立上面两个式子可以有：
(a^2+c^2-b^2)/ac=a/b
a^2*c=a^2*b+c^2*b-b^3
移项：a^2*c-a^2*b=c^2*b-b^3
a^2(c-b)=b(c^2-b^2)
所以：c=b或者：a^2=b*(b+c)
b=c的时候，B=C
所以A=2B=2C A=90,B=45=C，显然三边长不能为连续整数
a^2=b*(b+c)的时候
又由余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
所以：
b*(b+c)=b^2+c^2-2bc*cosA
2b*cosA=c-b
所以欲使三边为连续整数，c-b只能是1,-1,2,-2中的一个
分别判断，可以发现都不可能
所以最后的结果是不存在
不可能吧
∠A=2∠B,△ABC是等腰三角形,所以两腰相等,所以不可能是连续正整数
我不知道楼上的为什么说那个三角形是等腰三角形。我已经很久没有碰过这种题目了。但是我可以说一说我的思路。
可以根据正弦定理或者余弦定理来确定出边长和角度的一系列关系（当然要假设哪个边对应哪个角，这中间要讨论）。按方程是可以解出角度和边长的。这就要看是不是满足边长是不是正整数了。如果是正整数，那就证明是存在，如果不是，那就不存在了。我暂时不知道有没有其他简单的方法，个人觉得这个方法很笨，我也不想去算那些倍角，不过这个方法应该是行得通的。主要就是看这孩子对正余弦定理是不是懂啊！不过竞赛的题目都还是比较难的。
绝对不可能
假设存在△ABC，使∠A=2∠B，△ABC三边为连续正整数
那么，由正弦定理可得
a:b:c=sinA:sinB:sinC
又∠A=2∠B
sinA=sin2B,
sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin3B
a:b:c=sin2B:sinB:sin3B
=2cosB:1:(3-4sin^2B)
由a,b,c为连续正整数
即a+c=2b
则2cosB+(3-4sin^2B)=2
即4cos^2B+2cosB-1=0
cosB=（-1+√5）/4或（-1-√5）/4
由∠A=2∠B
则∠B∈（0，π/3）
又cosB∈（1/2，1）
无解
则假设不成立
不存在△ABC，使∠A=2∠B，△ABC三边为连续正整数
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b=2代入得c=6不符合要求。而b=4时，可得c=5，a=6，正好满足要求。
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所以：
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=2cosB:1:(3-4sin^2B)
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即a+c=2b
则2cosB+(3-4sin^2B)=2
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