今天做题是发现一个问题：当a-1能被b整除,a^n-1也一定能被b整除（a、b、n为正整数）？？？
更新日期：2024.05.01
是的楼主。要证明，最简单的，可以用数学归纳法。
【命题】设a、b、n为正整数，若(a-1)能被b整除,则(a^n-1)也能被b整除。
【证】
（1）当n=1时，由题设，(a-1)可以被b整除，命题的结论成立。
（2）假设当n=k时（k≥2），命题成立，即：
(a^k-1)可以被b整除
或
a^k-1=m[k]·b【其中，m[k]是一个正整数，它随k变化（k是下标，这里打不出来）】
（3）当n=k+1时，a^(k+1)-1=a·(a^k-1)+(a-1)
由（2）的假设，(a^k-1)可以被b整除，而a又是正整数；由（1）可知，(a-1)也可以被b整除，所以a^(k+1)-1也可以被b整除，且可以知道：
a^(k+1)-1=m[k+1]·b，其中，m[k+1]=a·m[k]+m[1]，m[1]=(a-1)/b，也是个正整数。
（4）综上所述，命题得证。
--补充--
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【命题】设a、b、n为正整数，若(a-1)能被b整除,则(a^n-1)也能被b整除。
【证】
（1）当n=1时，由题设，(a-1)可以被b整除，命题的结论成立。
（2）假设当n=k时（k≥2），命题成立，即：
(a^k-1)可以被b整除
或
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（3）当n=k+1时，a^(k+1)-1=a·(a^k-1)+(a-1)
由（2）的假设，(a^k-1)可以被b整除，而a又是正整数；由（1）可知，(a-1)也可以被b整除，所以a^(k+1)-1也可以被b整除，且可以知道：
a^(k+1)-1=m[k+1]·b，其中，m[k+1]=a·m[k]+m[1]，m[1]=(a-1)/b，也是个正整数。
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