求数列前n项和的方法及适用该方法的条件
更新日期：2024.05.09
一.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2
解：Sn=a1+a2+a3+...+an ①
倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②
①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2
点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
二.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
例题2：求数列的前n项和Sn
解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
例题3：求数列(n∈N*)的和
解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和
解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1②
①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③
若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
若a ≠ 1则：
点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3……n，是等差数列；含有字母a的数列是：a,a2,a3,……，an,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。
五.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。
解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1
把各项相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =
∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5
∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n
点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12 + 22 + … + n2=因此问题就容易解决了。
六.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例题6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*)
解：①当n是偶数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2]
= - (1 + 2 + … + n) = -
②当n是奇数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2
= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2
= -
综上所述：S = (-1)n+1n(n+1)
点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。
七.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
例题7：求的和
解：
点拨：本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项，在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化，使得数列的通项具备了等比数列的特征，从而为解题找到了突破口。
等差还是等比？
13810084443 :求数列前n项和的方法及适用该方法的条件
欧屈容2568 :答：一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但...
13810084443 :求数列前n项和的方法
欧屈容2568 :答：数列前n项和求解的七种方法为：倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、迭加法、分组求和法、构造法。这七种方法可以结合实际情况进行合理选择。一、用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距...
13810084443 :求数列前N项和的方法有哪些?要例子!
欧屈容2568 :答：且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a...
13810084443 :求数列前n项和的方法
欧屈容2568 :答：常用的求数列前n项和的方法：公式法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法。1、公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。2、倒序相加法：如果一个数列an，...
13810084443 :数列前n项和的几种方法到底如何运用啊,谁能一一列举下?
欧屈容2568 :答：2.错位相减法：这种做法在书上是用来求等比数列前n项和的，后被用来求等差与等比之积构成的新数列的和，这个方法一定要熟悉，因为它与第三中方法都是最常考的。如：{n*2^n}的前n项和 3.裂项相消法：这个例子极少，...
13810084443 :求数列的前n项和的不同方法有哪几种?
欧屈容2568 :答：常见方法有：1.公式法：就是利用等差数列，等比数列的求和公式进行求和。比较简单哈，不举例子了。2.分组求和：就是当所给数列有两个或多个比较容易求和的数列组成，可以用分组求和简化运算。例：an=2^n+n 则Sn=2^1+...
13810084443 :怎么求数列的前n项和公式?
欧屈容2568 :答：前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)以上n均属于正整数。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速...
13810084443 :前N项和公式
欧屈容2568 :答：①Sn=n*a1+n(n-1)d/2 ②Sn=n(a1+an)/2 Sn代表项数之和，n代表项数，a1代表数列的第一项，an代表数列的最后一项，d代表数列的公差。性质：⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 ...
13810084443 :求高中数学数列求和方法
欧屈容2568 :答：32、求数列{an}的最大、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项...
13810084443 :数列前n项和有哪些求法?
欧屈容2568 :答：常用的，有两种：（这两个方法，教科书上都有）一是，等差数列求和方法：倒写相加法 其次，等比数列求和方法：错位相减法 后者用的很多，不仅仅局限于等比数列求和，还适用于一个等差数列乘以一个等比数列构成的新数列的和...
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2
解：Sn=a1+a2+a3+...+an ①
倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②
①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2
点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
二.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
例题2：求数列的前n项和Sn
解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
例题3：求数列(n∈N*)的和
解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和
解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1②
①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an - nan+1③
若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
若a ≠ 1则：
点拨：此数列的通项是nan,系数数列是：1，2，3……n，是等差数列；含有字母a的数列是：a,a2,a3,……，an,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。
五.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。
解：∵a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 ,…, an - an-1 = 2n-1
把各项相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =
∴an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5
∴Sn = 12 + 22 + … + n2 + 5n =+ 5n
点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了12 + 22 + … + n2=因此问题就容易解决了。
六.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例题6：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n2(n∈N*)
解：①当n是偶数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 1)2 - n2]
= - (1 + 2 + … + n) = -
②当n是奇数时：S = (12 - 22) + (32 - 42) + … + [(n - 2)2 - (n - 1)2] + n2
= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n2
= -
综上所述：S = (-1)n+1n(n+1)
点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和。
七.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
例题7：求的和
解：
点拨：本题的关键在于如何构造出等差或等比数列的特征的通项，在这道题的解法中巧妙的运用了这一转化，使得数列的通项具备了等比数列的特征，从而为解题找到了突破口。
等差还是等比？
欧屈容2568 :答：一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但...
欧屈容2568 :答：数列前n项和求解的七种方法为：倒序相加法、公式法、裂项相消法、错位相减法、迭加法、分组求和法、构造法。这七种方法可以结合实际情况进行合理选择。一、用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距...
欧屈容2568 :答：且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a...
欧屈容2568 :答：常用的求数列前n项和的方法：公式法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法。1、公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。2、倒序相加法：如果一个数列an，...
欧屈容2568 :答：2.错位相减法：这种做法在书上是用来求等比数列前n项和的，后被用来求等差与等比之积构成的新数列的和，这个方法一定要熟悉，因为它与第三中方法都是最常考的。如：{n*2^n}的前n项和 3.裂项相消法：这个例子极少，...
欧屈容2568 :答：常见方法有：1.公式法：就是利用等差数列，等比数列的求和公式进行求和。比较简单哈，不举例子了。2.分组求和：就是当所给数列有两个或多个比较容易求和的数列组成，可以用分组求和简化运算。例：an=2^n+n 则Sn=2^1+...
欧屈容2568 :答：前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)以上n均属于正整数。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速...
欧屈容2568 :答：①Sn=n*a1+n(n-1)d/2 ②Sn=n(a1+an)/2 Sn代表项数之和，n代表项数，a1代表数列的第一项，an代表数列的最后一项，d代表数列的公差。性质：⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 ...
欧屈容2568 :答：32、求数列{an}的最大、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项...
欧屈容2568 :答：常用的，有两种：（这两个方法，教科书上都有）一是，等差数列求和方法：倒写相加法 其次，等比数列求和方法：错位相减法 后者用的很多，不仅仅局限于等比数列求和，还适用于一个等差数列乘以一个等比数列构成的新数列的和...
