三道门的概率
更新日期：2024.06.02
三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人(主持人知道答案)开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？
这是一个很有趣的题目，对于没有条件概率知识的人来说，很多人的第一想法是一半一半啊，虽然一开始是1/3，但是后来不是只剩两扇门了吗，自然就是1/2了呀。
其实，这个题目不用概率知识来解释也很好解释，我们知道，一开始参赛者选择中奖的概率是1/3，那么不中奖的概率就是2/3，后面发生的事情就是主持人打开一扇门后问他换还是不换？如果我们从另一个角度考虑问题：如果参赛者不换，则表示他坚持自己第一次选择时正确的，那么他的中奖概率还是1/3；如果参赛者换，那么表示参赛者承认自己之前的选择时错误的，那么之前错误的（不中奖）概率是2/3，而剩下的门里没有车的门已经被排除了，所以换了后中奖的概率就是2/3。这样就可以得到答案，换，而且换了以后，概率可以提升到2/3，而不是第一映像中的1/2。
那么，我们怎么用概率的知识来思考这个问题呢？
我们一般接触到的实际问题都是先验概率，很多事情都是相对独立事件，即一件事的发生不会影响另一件事的概率；但是这个三门问题，却是一道条件概率问题。即后发生的事件会对之前的事件产生影响，从而影响之前事件概率。
条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。若只有两个事件A，B，那么，
我们假定选择其中一门中奖定为事件A，B，C，那么我可以知道P(A)=P(B)=P(C)=1/3；
假定主持人打开门定为事件a,b,c；
可以把题目改为这样，参赛者选择了A门，主持人打开了c,问此时，参赛者不换继续选A且中奖的概率是多少，换，选B且中奖的概率是多少？用式子表示就是，求此时的P(A|c)和P(B|c)分别是多少？
根据条件概率公式我们有
P(A|c)=P(Ac)/P(c)=P(A)*P(c|A)/P(c)；
P(B|c)=P(Bc)/P(c)=P(B)*P(c|B)/P(c)。
P(A)=P(B)=P(C)=1/3,
当参赛者选择A门且A中奖时，主持人打开c的概率是1/2，所以P(c|A)=1/2；
当参赛者选择A门且B中奖时，主持人打开c的概率是1，所以P(c|B)=1；
当参赛者选择A门且C中奖时，主持人打开c的概率是0，所以P(c|C)=0。
那么P(c)= P(A)*P(c|A)+ P(B)*P(c|B)+P(C)* P(c|C)=1/3*1/2+1/3*1+1/3*0=1/2。
所以
P(A|c)=P(A)*P(c|A)/P(c)=(1/3*1/2)/(1/2)=1/3，
P(B|c)=P(B)*P(c|B)/P(c)=(1/3*1)/(1/2)=2/3。
也就是说当主持人在打开门c后，对于A来说，其本身的概率是没变的，还是原来的1/3，改变的是事件B的概率，即P(B|c)是2/3。因此，此时参赛者应该换门，因为剩下的另一道门的概率变为了2/3，这样获奖概率变为了原来的两倍。
现实中的知识就是这样，很多时候和我们的直觉是不一样的，而且差距还不小。因此需要我们不断的锻炼自己的思维和数学能力，这样才能在一些决断中保持理性而科学的头脑，不至于错过大奖。
主持人排除一扇没有奖品的门不是随机事件，也就破坏了等可能性。不换 就是原来三分之一的概率 ；换 为三分之二的概率。门内有奖品的情形有3种；1有或2有或3有。我们假设嘉宾选的为1；若1有，主会打开2或3号门；若2有，主会打开3号门；若3有，主会打开2号门。由此可见 换时猜中的概率为2/3
2013-08-21 45
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15993443936 :三道门 shuxueti
裴哗壮3615 :答：第一个答案是1/3,第二个概率出在第一和第二道门上,所以是1/2
15993443936 :三扇门问题
裴哗壮3615 :答：1.换，结果成功的可能性为，首先选错，然后正确，所以概率是2/3，因为只要选到错的，另一个错的要被移除，只剩下正确的 成功的可能性为，首先选对，然后换错，概率是1/3 2.不换，结果成功只有一种可能，即第一次就选对，所以概率是1/3 失败的概率相应的为 2/3 50%的概率说法看起来是对的...
15993443936 :什么东西有3道门一道进2道出
裴哗壮3615 :答：1、只有一把钥匙打不开 所以是1/3 2、若第一道门是一把能打开任何一道门 概率是1/3 此时肯定可以 所以就是1/3×1=1/3 若第一道门是一把只能打开第一道门的 概率是1/3 则要从第二个这里开了 有两把可以开 所以概率是1/3×2/3=2/9 所以概率=1/3+2/9=5/9 ...
15993443936 :“三扇门”概率问题
裴哗壮3615 :答：也就破坏了等可能性。不换 就是原来三分之一的概率 ；换 为三分之二的概率。门内有奖品的情形有3种；1有或2有或3有。我们假设嘉宾选的为1；若1有，主会打开2或3号门；若2有，主会打开3号门；若3有，主会打开2号门。由此可见 换时猜中的概率为2/3 ...
15993443936 :三道门的概率
裴哗壮3615 :答：也就是说当主持人在打开门c后，对于A来说，其本身的概率是没变的，还是原来的1/3，改变的是事件B的概率，即P(B|c)是2/3。因此，此时参赛者应该换门，因为剩下的另一道门的概率变为了2/3，这样获奖概率变为了原来的两倍。现实中的知识就是这样，很多时候和我们的直觉是不一样的，而且差距还不...
15993443936 :《决胜21点》中三道门里羊和车的数学问题
裴哗壮3615 :答：几率是50 .因为总共有三道门,第一道门是没有车的,所以只有剩下的两道门中的一道有车.当主人公在不知情的情况下,在三道门中选一道时,概率为1/3(既33.3%).当他在知道第一道门没有车的情况下,只选择剩下的两道门是,概率应该变成1/2(既50%)
15993443936 :“三门问题”一个生活化的解答
裴哗壮3615 :答：简而言之，有A，B，C三道门，我们的目标是选中唯一内有“汽车”的门，而另外两个门里只有“羊”。在我选定一个门后，知道所有答案的主持人会在其他门中打开一个没有“汽车”的门，问此时我们换一个门，中奖概率会不会提升。许多人第一直觉可能是：剩下两道门概率一样，都是一半。但实际答案是：...
15993443936 :求一道概率题思路!
裴哗壮3615 :答：求走出迷宫的时间超过了3小时可能是第一次走了3号门（三个门选一个，所以是1/3）或第一次走了2号门第二次没有走进1号门（第一次是3个门选1个所以是1/3，第二次是3个门选2个，所以是2/3，两次都满足，所以1/3×2/3=2/9），两种可能加到一起就是走出迷宫的时间超过了3小时的概率。
15993443936 :已知有三道门,有两道后面有羊,一道后面有车,你任意打开一道,后面有车...
裴哗壮3615 :答：第一个答案是1/3,第二个概率出在第一和第二道门上，所以是1/2
这是一个很有趣的题目，对于没有条件概率知识的人来说，很多人的第一想法是一半一半啊，虽然一开始是1/3，但是后来不是只剩两扇门了吗，自然就是1/2了呀。
其实，这个题目不用概率知识来解释也很好解释，我们知道，一开始参赛者选择中奖的概率是1/3，那么不中奖的概率就是2/3，后面发生的事情就是主持人打开一扇门后问他换还是不换？如果我们从另一个角度考虑问题：如果参赛者不换，则表示他坚持自己第一次选择时正确的，那么他的中奖概率还是1/3；如果参赛者换，那么表示参赛者承认自己之前的选择时错误的，那么之前错误的（不中奖）概率是2/3，而剩下的门里没有车的门已经被排除了，所以换了后中奖的概率就是2/3。这样就可以得到答案，换，而且换了以后，概率可以提升到2/3，而不是第一映像中的1/2。
那么，我们怎么用概率的知识来思考这个问题呢？
我们一般接触到的实际问题都是先验概率，很多事情都是相对独立事件，即一件事的发生不会影响另一件事的概率；但是这个三门问题，却是一道条件概率问题。即后发生的事件会对之前的事件产生影响，从而影响之前事件概率。
条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。若只有两个事件A，B，那么，
我们假定选择其中一门中奖定为事件A，B，C，那么我可以知道P(A)=P(B)=P(C)=1/3；
假定主持人打开门定为事件a,b,c；
可以把题目改为这样，参赛者选择了A门，主持人打开了c,问此时，参赛者不换继续选A且中奖的概率是多少，换，选B且中奖的概率是多少？用式子表示就是，求此时的P(A|c)和P(B|c)分别是多少？
根据条件概率公式我们有
P(A|c)=P(Ac)/P(c)=P(A)*P(c|A)/P(c)；
P(B|c)=P(Bc)/P(c)=P(B)*P(c|B)/P(c)。
P(A)=P(B)=P(C)=1/3,
当参赛者选择A门且A中奖时，主持人打开c的概率是1/2，所以P(c|A)=1/2；
当参赛者选择A门且B中奖时，主持人打开c的概率是1，所以P(c|B)=1；
当参赛者选择A门且C中奖时，主持人打开c的概率是0，所以P(c|C)=0。
那么P(c)= P(A)*P(c|A)+ P(B)*P(c|B)+P(C)* P(c|C)=1/3*1/2+1/3*1+1/3*0=1/2。
所以
P(A|c)=P(A)*P(c|A)/P(c)=(1/3*1/2)/(1/2)=1/3，
P(B|c)=P(B)*P(c|B)/P(c)=(1/3*1)/(1/2)=2/3。
也就是说当主持人在打开门c后，对于A来说，其本身的概率是没变的，还是原来的1/3，改变的是事件B的概率，即P(B|c)是2/3。因此，此时参赛者应该换门，因为剩下的另一道门的概率变为了2/3，这样获奖概率变为了原来的两倍。
现实中的知识就是这样，很多时候和我们的直觉是不一样的，而且差距还不小。因此需要我们不断的锻炼自己的思维和数学能力，这样才能在一些决断中保持理性而科学的头脑，不至于错过大奖。
主持人排除一扇没有奖品的门不是随机事件，也就破坏了等可能性。不换 就是原来三分之一的概率 ；换 为三分之二的概率。门内有奖品的情形有3种；1有或2有或3有。我们假设嘉宾选的为1；若1有，主会打开2或3号门；若2有，主会打开3号门；若3有，主会打开2号门。由此可见 换时猜中的概率为2/3
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裴哗壮3615 :答：第一个答案是1/3,第二个概率出在第一和第二道门上,所以是1/2
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裴哗壮3615 :答：第一个答案是1/3,第二个概率出在第一和第二道门上，所以是1/2
