数列分组求和法，错位相减法，裂项求和法，倒序相加法，都怎么表示
更新日期：2024.06.05
1分组求和法:
就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。
例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，
可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式
对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了
2数列累加法
逐差累加法
例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an 解：由递推公式知：a2-a1=2,
a3-a2=22,
a4-a3=23, …an-an-1=2n-1 将以上n-1个式子相加可得
an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1 注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法 求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。
逐商叠乘法
例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an
var script = document.createElement('script'); script.src = 'http://static.pay.baidu.com/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);
解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n 将以上n-1个式子相乘可得 an=a1.22+3+4+…+n=2 当n=1时，a1=1满足上式 故an=2 (n∈N*)
注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列
3裂项求和：
当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）
可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1）） 然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
4倒序相加：
最简单的是等差数列用倒序相加求和：
1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元） =2-1/100
=199/100
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn:
7、
等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
(window.cproArray = window.cproArray || []).push({ id: "u2280119" });
二、基本公式：
三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
五、11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 六、12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
七、13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论
八、14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
九、15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 十、16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
十一、17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
十二、18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 十三、19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。
十四、20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 十五、21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
十六、22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 十七、23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
十八、24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
十九、25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 二十、26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ，
二十一、27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数
列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 二十四、31、倒序相加法求和：如an=
二十五、32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 二十六、33、在等差数列 中,有关
Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)
当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用
5错位相减：
这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。
裂项相消法 最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+.+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2
13054324347 :...什么时候用错位相减法 什么时候用分组法? 急! 谢谢
苍军褚4327 :答：分组求和法就是一个等差+等比。 错位相减法就是等差乘以等比。或者除以等比。 列项相消法就是通分以后可以写成常数/两数差的
13054324347 :数列求和S的方法
苍军褚4327 :答：， 等.2.分组求和法: 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。3.倒序相加法：如果一个数列 ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如.等差数列的前n项和就是此法推导的。4.错位相减法：如果一个数列的各项...
13054324347 :求数学高手指教,关于数列的算法(分式求和,错位相减,裂项求和)
苍军褚4327 :答：错位相减：这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。分组求和：此为...
13054324347 :裂相相消,错位相减,倒序相加分别适用于哪些形式的数列?
苍军褚4327 :答：1、裂项相消法适用于an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 类型的数列，例如：Sn=1/1*2+1/2*3+...+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）=1-1/(n+1)2、错位相减法适用于等比数列求和，这个在等比数列求和...
13054324347 :数列求和中的分组结合法、裂项相消、错位相减 这地方没学懂。 有哪位...
苍军褚4327 :答：1).分组求和：将1,2,3等整为一组，再将分数整为一组；前者才用高斯定律求和，后者用等比数列求和；2)错位相减：将所有项乘三分之一，则项数之和为之前的三分之一，两和式相减，同次幂相消，所得即所求和的三分之二，结果再乘二分之三即为所求项数之和；数列求和的关键在于将和式转为你所...
13054324347 :数列,裂项相消法,错位相减法如何算
苍军褚4327 :答：数列求和的常用方法分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．数列求和的方法...
13054324347 :分组分析法
苍军褚4327 :答：分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。1、倒序相加法倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末...
13054324347 :数列分组求和法,错位相减法,裂项求和法,倒序相加法,都怎么表示
苍军褚4327 :答：二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 二十四、31、倒序相加法求和：如an= 二十五、32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如...
13054324347 :错位相减和裂项求和的关系?区别在哪里?分组求和呢?
苍军褚4327 :答：错位相减解决的是这类问题：an为等比数列 bn为等差数列 cn=an×bn Tn=c1＋c2＋...＋cn 这类问题的思路是将Tn两边都乘以an的公比 然后错位相减 除去第一项 和最后一项 其他的项全变成y×an的形式 其中y为bn公差 裂项求和又叫裂项相消 顾名思义 它解题的精髓是列项后 除去第一项和最后一项...
13054324347 :求数列求和问题的各种解法
苍军褚4327 :答：主要这几种方法：定义法（等差数列和等比数列）、叠加法、错位相减法（一个等差数列乘以一个等比数列）、分组求和法（一般是一个等比数列加上一个等差数列）、裂项相消法（如1/(1*2）+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其...
就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。
例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，
可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式
对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了
2数列累加法
逐差累加法
例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an 解：由递推公式知：a2-a1=2,
a3-a2=22,
a4-a3=23, …an-an-1=2n-1 将以上n-1个式子相加可得
an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1 注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法 求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。
逐商叠乘法
例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an
var script = document.createElement('script'); script.src = 'http://static.pay.baidu.com/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);
解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n 将以上n-1个式子相乘可得 an=a1.22+3+4+…+n=2 当n=1时，a1=1满足上式 故an=2 (n∈N*)
注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列
3裂项求和：
当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）
可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1）） 然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
4倒序相加：
最简单的是等差数列用倒序相加求和：
1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元） =2-1/100
=199/100
一、基本概念：
1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn:
7、
等差数列、公差d、等差数列的结构：
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：
(window.cproArray = window.cproArray || []).push({ id: "u2280119" });
二、基本公式：
三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
五、11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 六、12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
七、13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论
八、14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
九、15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 十、16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
十一、17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
十二、18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 十三、19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。
十四、20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 十五、21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
十六、22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 十七、23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
十八、24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
十九、25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 二十、26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ，
二十一、27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数
列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 二十四、31、倒序相加法求和：如an=
二十五、32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 二十六、33、在等差数列 中,有关
Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)
当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用
5错位相减：
这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。
裂项相消法 最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+.+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2
苍军褚4327 :答：分组求和法就是一个等差+等比。 错位相减法就是等差乘以等比。或者除以等比。 列项相消法就是通分以后可以写成常数/两数差的
苍军褚4327 :答：， 等.2.分组求和法: 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。3.倒序相加法：如果一个数列 ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如.等差数列的前n项和就是此法推导的。4.错位相减法：如果一个数列的各项...
苍军褚4327 :答：错位相减：这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。分组求和：此为...
苍军褚4327 :答：1、裂项相消法适用于an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 类型的数列，例如：Sn=1/1*2+1/2*3+...+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）=1-1/(n+1)2、错位相减法适用于等比数列求和，这个在等比数列求和...
苍军褚4327 :答：1).分组求和：将1,2,3等整为一组，再将分数整为一组；前者才用高斯定律求和，后者用等比数列求和；2)错位相减：将所有项乘三分之一，则项数之和为之前的三分之一，两和式相减，同次幂相消，所得即所求和的三分之二，结果再乘二分之三即为所求项数之和；数列求和的关键在于将和式转为你所...
苍军褚4327 :答：数列求和的常用方法分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．数列求和的方法...
苍军褚4327 :答：分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。1、倒序相加法倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末...
苍军褚4327 :答：二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 二十四、31、倒序相加法求和：如an= 二十五、32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如...
苍军褚4327 :答：错位相减解决的是这类问题：an为等比数列 bn为等差数列 cn=an×bn Tn=c1＋c2＋...＋cn 这类问题的思路是将Tn两边都乘以an的公比 然后错位相减 除去第一项 和最后一项 其他的项全变成y×an的形式 其中y为bn公差 裂项求和又叫裂项相消 顾名思义 它解题的精髓是列项后 除去第一项和最后一项...
苍军褚4327 :答：主要这几种方法：定义法（等差数列和等比数列）、叠加法、错位相减法（一个等差数列乘以一个等比数列）、分组求和法（一般是一个等比数列加上一个等差数列）、裂项相消法（如1/(1*2）+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其...
